LA
TEORIA DEL JUEGO Y LAS ECUACIONES INTEGRALES CON NÚCLEO SIMÉTRICO
Nota
de Émile Borel
Comptes rendus des scéances de l´Academie des Sciences,
Juillet-Décembre 1921, tome 173, pp. 1304-1308.
Consideremos
un juego donde la victoria depende a la vez del azar y de la habilidad de los
jugadores y ciñámonos al caso de dos jugadores A y B y de un juego simétrico,
de manera que, si A y B adoptan el mismo método de juego, sus oportunidades son
iguales. Podemos proponernos averiguar si es posible determinar un método de
juego mejor que otros, es decir, que dé al jugador que lo adopte una
superioridad sobre todo jugador que no lo adopte. Precisemos antes que nada lo
que debemos entender por un método de juego: es una regla [code] que, en todas las circunstancias posibles (supuestas en
número finito), fija exactamente lo que el jugador debe hacer. En la mayoría de
los juegos habituales, el número de métodos posibles es extremadamente grande,
aunque siempre finito. Si el jugador A adopta el método Ci, y B el método Ck,
el cálculo de probabilidades permite calcular la probabilidad de victoria de A,
a la que llamaremos a y la de B, que
será b = 1 ̶ a; planteamos
los números αik y αki, comprendidos entre ̶ 1/2 y + 1/2, satisfacen la relación
(2) αik + αki = 0.
La simetría
del juego se expresa por las relaciones
(3) αii = 0.
Diremos que una manera de jugar Ci es mala si αih es negativo o nulo cualquiera que sea h; excluiremos las maneras de jugar malas; tras esta exclusión,
podrá haber otras maneras de jugar que se convertirán en malas; estas son las
maneras Cj, tales que αjk sea negativo o nulo, cualquiera que sea la
manera Ck no excluida con
anterioridad como mala: continuaremos esta exclusión hasta que no subsistan más
maneras malas de jugar; podrá ocurrir entonces que haya una manera de jugar
indiferente C0, tal que α0k sea nulo cualquiera que sea k;
dejaremos provisionalmente de lado este caso; las maneras de jugar Ch que subsistan
son entonces aquellas en las que αhk es positivo para al menos un valor de k; si existiera una manera de jugar Ch, tal que αhk sea siempre positivo o nulo, esta manera de jugar sería la mejor.
En el caso de que esta mejor manera no exista, puede uno preguntarse si no es
posible, a falta de una regla elegida de una vez para todas, jugar de una
manera ventajosa variando el juego. Si se quiere formular una regla precisa
para variar el juego, la cual no se haría intervenir más que para los hechos
considerados dentro del juego y no para consideraciones psicológicas sobre el
jugador al que uno se opone, esta regla, decimos, equivale forzosamente a un
enunciado como el siguiente: la probabilidad para la que, en un momento dado
del juego, A adopta, a la hora de fijar su conducta en ese momento, la regla Ck es pk; la probabilidad análoga para B podrá ser designada
por qk, designando
mediante n el número de reglas que
subsisten, tenemos
(4)
La probabilidad de ganar de A es, teniendo en cuenta (1), (2), (3) y (4),
planteando,
(5)
En el caso particular en que n = 3, esta fórmula se convierte en
(6)
Si, como suponemos, ninguna de las tres maneras de jugar C1, C2, C3, es mala, se ve inmediatamente que ninguna de las tres es mejor que las otras; los tres números α23,α31,α12 son por tanto del mismo signo; es fácil encontrar números positivos p1, p2, p3 que satisfagan la relación (4), tales que a sea nulo sean cuales sean los números q1, q2, q3. Es posible por tanto adoptar una manera de jugar que permita luchar con oportunidades iguales contra cualquier jugador; esta manera de jugar consiste, antes de tomar cualquier decisión, en sortear dentro de unas condiciones que atribuyen respectivamente las probabilidades p1, p2, p3 las reglas C1, C2, C3. Pero es fácil de ver que, desde que n sobrepasa 3, esta circunstancia no se presentará más que para valores muy particulares de los αik; en general, cualesquiera que sean los p, será posible en (5) elegir los q de manera que a tenga un signo fijado de antemano. Cuando ello sea así, cualquiera que sea la variación introducida por A en su juego, desde el momento en que esa variación está definida, es suficiente que B la conozca para que pueda variar su juego con objeto de tener una ventaja sobre A; la recíproca es igualmente verdadera; debemos concluir que el cálculo de probabilidades no puede servir más que para permitir la eliminación de las maneras de jugar malas y el cálculo de los αik; para lo demás, el arte del juego depende de la psicología y no de las matemáticas.
Es fácil de ampliar las consideraciones precedentes en el
caso en que las maneras de jugar formen una infinitud continua; si queremos
tomar a la vez los casos de lo continuo y lo discontinuo, habrá que reemplazar
las relaciones (4) por relaciones como las siguientes:
(7)
(8) f (x, y, x1,
y1) = ‒ f
(x1, y1, x, y).
El
valor de α está
dado entonces por la integral de Stieltjes
(9)
Numerosos
problemas sobre un juego tal pueden por tanto ser traídos a colación para el
estudio de ecuaciones integrales con núcleo simétrico izquierdo; este núcleo
depende de las convenciones del juego, mientras que las formas diversas de las
ecuaciones integrales dependen de los problemas planteados.
Entre
los juegos para los cuales las maneras de jugar forman una doble infinitud
continua, uno de los más simples es el siguiente: A y B eligen cada uno tres
números positivos cuya suma es igual a 1.
(10)
y cada jugador dispone en un orden determinado los números que ha elegido. A gana si dos de los números elegidos por él son superiores a los números correspondientes de B, es decir si
(11) (x1 ‒ x)
(y1 ‒ y)
(z1 ‒ z) > 0,
y pierde en el caso
contrario; la partida es nula si la desigualdad (11) se transforma en igualdad.
Podemos naturalmente generalizar de muchas maneras reemplazando (10) y (11) por
otras relaciones.
Una
forma muy simplificada de este juego, interesante a la hora de estudiarlo como
ilustración de lo que precede, consiste en suponer los números x, y,
z, x1, y1,
z1 enteros positivos que
satisfagan las relaciones[1]
(12)
La ganancia o la pérdida dependen siempre del signo del
producto (11). El número 7 es el más pequeño de los enteros para el cual el
juego no conlleva maneras de jugar superiores a otras.
Los problemas de probabilidades y de análisis que podría
proponerse a propósito del arte de la guerra o de las especulaciones económicas
o financieras no carecen de analogía con los problemas relativos a los juegos,
pero con un grado de complicación en general bastante más elevado. Para su
solución práctica, el espíritu geométrico debe ser ayudado por el espíritu de
finura [esprit de finesse]. El único
consejo que el geómetra puede dar, en ausencia de toda indicación psicológica,
al jugador A cuyo adversario B busca utilizar las anotaciones precedentes, es
el de variar el juego de tal manera que las probabilidades atribuibles por un
observador exterior a sus diversas maneras de jugar no sean nunca definidas; la
función ϕ (x, y) debe pues variar a
cada instante, y variar sin seguir ninguna
ley; podemos dudar de que sea posible indicar un medio efectivo y seguro de
poner en acción tal consejo; parece que, para seguirlo a la letra, haría falta
una incoherencia total de espíritu, aliada, claro está, a la inteligencia
necesaria para eliminar los métodos que hemos calificado de malos.
(Traducción de Francisco
J. Fernández)
[1]
Podemos, por concretar este juego, suponer que x, y, z designan números de cartas elegidas
libremente por cada jugador (o bien distribuidas por combinaciones donde
intervendrían a la vez el azar y la voluntad del jugador); el juego de A se
compone pues de x tréboles, y diamantes y z corazones, y A gana a B si lo supera numéricamente en dos de los
palos.
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