La "ceguera" de Rubinstein

Es difícil ver que un maestro de primer nivel cometa un grave error casi en plena apertura, pero más difícil es que el mismo maestro cometa el mismo error en dos ocasiones. Esto fue lo que le ocurrió al genial Akiba Rubinstein, uno de los jugadores con más talento de primeros del Siglo XX. 

Veámoslo:
Euwe, Max - Rubinstein, Akiba
Bad Kissingen, 1928

1.Cf3 d5 2.c4 e6 3.d4 Cf6 4.Ag5 Cbd7 5.e3 Ae7 6.Cc3 O-O 7.Tc1 c6 8.Ad3 a6 9.cxd5 exd5 10.O-O Te8 11.Db3 h6 12.Af4 Ch5? Un error poco común en jugadores de primer nivel que Euwe castigó de manera inmediata. 

13.Cxd5! Ahora no es posible 13... cxd5 por 14.Ac7 que gana la Dama.

13... Cxf4 14.Cxf4 y las negras perdieron un peón sin compensación y la partida. 

Dos años después, en una partida del propio Rubinstein frente a Alekhine, se produjo una posición muy similar a la anterior

Alekhine, Alexander - Rubinstein, Akiba
San Remo, 1930

1.d4 d5 2.Cf3 Cf6 3.c4 e6 4.Ag5 Cbd7 5.e3 Ae7 6.Cc3 O-O 7.Tc1 Te8 8.Dc2 a6 9.cxd5 exd5 10.Ad3 c6 11.O-O Ce4 12.Af4 f5? De nuevo el mismo error. 

13.Cxd5! Al igual que en la partida anterior, no es posible 13... cxd5 por 14.Ac7 y la Dama negra está perdida.

13... Ad6 14.Axd6 Cxd6 15.Cf4 y nuevamente Rubinstein perdió un peón que más tarde le costaría la partida. 

La teoría del juego y las ecuaciones integrales con núcleo simétrico

Émile Borel fue un matemático y político francés (1871-1956). Damos a continuación un breve artículo suyo que, tras el de Ernst Zermelo, sentaron las bases para la incipiente Teoría de Juegos que fundaron más tarde Oskar Morgenstern y John von Neumann. Para la inteligencia del problema planteado hacen falta algunos conocimientos de cálculo matricial y combinatoria, pero la idea básica es bastante elemental. No deja de sorprender por otro lado la conclusión final, que no sé si a los ajedrecistas les podrá ser útil. Finalmente, quisiera agradecer a mis compañeros Encarni Amaro, José Manuel Marín y Carmen Alberola, del IES Virgen de la Cabeza de Marmolejo (Jaén), la ayuda prestada.

LA TEORIA DEL JUEGO Y LAS ECUACIONES INTEGRALES CON NÚCLEO SIMÉTRICO

Nota de Émile Borel

Comptes rendus des scéances de l´Academie des Sciences, Juillet-Décembre 1921, tome 173, pp. 1304-1308.

         Consideremos un juego donde la victoria depende a la vez del azar y de la habilidad de los jugadores y ciñámonos al caso de dos jugadores A y B y de un juego simétrico, de manera que, si A y B adoptan el mismo método de juego, sus oportunidades son iguales. Podemos proponernos averiguar si es posible determinar un método de juego mejor que otros, es decir, que dé al jugador que lo adopte una superioridad sobre todo jugador que no lo adopte. Precisemos antes que nada lo que debemos entender por un método de juego: es una regla [code] que, en todas las circunstancias posibles (supuestas en número finito), fija exactamente lo que el jugador debe hacer. En la mayoría de los juegos habituales, el número de métodos posibles es extremadamente grande, aunque siempre finito. Si el jugador A adopta el método C_i, y B el método C_k, el cálculo de probabilidades permite calcular la probabilidad de victoria de A, a la que llamaremos a y la de B, que será b = 1  ̶  a; planteamos

(1)

los números α_ik y α_ki, comprendidos entre  ̶  1/2 y + 1/2, satisfacen la relación

(2)                         α_ik + α_ki = 0.

La simetría del juego se expresa por las relaciones

(3)                         α_ii = 0.

Diremos que una manera de jugar C_i es mala si α_ih es negativo o nulo cualquiera que sea h; excluiremos las maneras de jugar malas; tras esta exclusión, podrá haber otras maneras de jugar que se convertirán en malas; estas son las maneras C_j, tales que α_jk sea negativo o nulo, cualquiera que sea la manera C_k no excluida con anterioridad como mala: continuaremos esta exclusión hasta que no subsistan más maneras malas de jugar; podrá ocurrir entonces que haya una manera de jugar indiferente C₀, tal que α_0k sea nulo cualquiera que sea k; dejaremos provisionalmente de lado este caso; las maneras de jugar C_h que subsistan son entonces aquellas en las que α_hk es positivo para al menos un valor de k; si existiera una manera de jugar C_h, tal que α_hk sea siempre positivo o nulo, esta manera de jugar sería la mejor. En el caso de que esta mejor manera no exista, puede uno preguntarse si no es posible, a falta de una regla elegida de una vez para todas, jugar de una manera ventajosa variando el juego. Si se quiere formular una regla precisa para variar el juego, la cual no se haría intervenir más que para los hechos considerados dentro del juego y no para consideraciones psicológicas sobre el jugador al que uno se opone, esta regla, decimos, equivale forzosamente a un enunciado como el siguiente: la probabilidad para la que, en un momento dado del juego, A adopta, a la hora de fijar su conducta en ese momento, la regla C_k es p_k; la probabilidad análoga para B podrá ser designada por q_k, designando mediante n el número de reglas que subsisten, tenemos

(4)  

         La probabilidad de ganar de A es, teniendo en cuenta (1), (2), (3) y (4),

                  

planteando,

(5)

         En el caso particular en que n = 3, esta fórmula se convierte en

(6)

Si, como suponemos, ninguna de las tres maneras de jugar C₁, C₂, C₃, es mala, se ve inmediatamente que ninguna de las tres es mejor que las otras; los tres números α₂₃,α₃₁,α₁₂ son por tanto del mismo signo; es fácil encontrar números positivos p₁, p₂, p₃ que satisfagan la relación (4), tales que a sea nulo sean cuales sean los números q₁, q₂, q₃. Es posible por tanto adoptar una manera de jugar que permita luchar con oportunidades iguales contra cualquier jugador; esta manera de jugar consiste, antes de tomar cualquier decisión, en sortear dentro de unas condiciones que atribuyen respectivamente las probabilidades p₁, p₂, p₃ las reglas C₁, C₂, C₃. Pero es fácil de ver que, desde que n sobrepasa 3, esta circunstancia no se presentará más que para valores muy particulares de los α_ik; en general, cualesquiera que sean los p, será posible en (5) elegir los q de manera que a tenga un signo fijado de antemano. Cuando ello sea así, cualquiera que sea la variación introducida por A en su juego, desde el momento en que esa variación está definida, es suficiente que B la conozca para que pueda variar su juego con objeto de tener una ventaja sobre A; la recíproca es igualmente verdadera; debemos concluir que el cálculo de probabilidades no puede servir más que para permitir la eliminación de las maneras de jugar malas y el cálculo de los α_ik; para lo demás, el arte del juego depende de la psicología y no de las matemáticas.

         Es fácil de ampliar las consideraciones precedentes en el caso en que las maneras de jugar formen una infinitud continua; si queremos tomar a la vez los casos de lo continuo y lo discontinuo, habrá que reemplazar las relaciones (4) por relaciones como las siguientes:

(7)

las funciones crecientes ϕ y ϕ₁, que dependen, por ejemplo de dos variables, y las integrales, estando definidas en el sentido de Stieltjes. Estas funciones definen las maneras de jugar de A y B; la probabilidad de ganar está definida por una función simétrica izquierda f (x, y, x₁, y₁), es decir, que la relación (2) es reemplazada por

(8)                      f (x, y, x₁, y₁) =  ‒ f (x₁, y₁, x, y).    

El valor de α está dado entonces por la integral de Stieltjes

(9)       

Numerosos problemas sobre un juego tal pueden por tanto ser traídos a colación para el estudio de ecuaciones integrales con núcleo simétrico izquierdo; este núcleo depende de las convenciones del juego, mientras que las formas diversas de las ecuaciones integrales dependen de los problemas planteados.

Entre los juegos para los cuales las maneras de jugar forman una doble infinitud continua, uno de los más simples es el siguiente: A y B eligen cada uno tres números positivos cuya suma es igual a 1.

(10) 

y cada jugador dispone en un orden determinado los números que ha elegido. A gana si dos de los números elegidos por él son superiores a los números correspondientes de B, es decir si

(11)                         (x₁ ‒ x) (y₁ ‒ y) (z₁ ‒ z) > 0,

y pierde en el caso contrario; la partida es nula si la desigualdad (11) se transforma en igualdad. Podemos naturalmente generalizar de muchas maneras reemplazando (10) y (11) por otras relaciones.

Una forma muy simplificada de este juego, interesante a la hora de estudiarlo como ilustración de lo que precede, consiste en suponer los números x, y, z, x₁, y₁, z₁ enteros positivos que satisfagan las relaciones[1]

(12)

   

           

         La ganancia o la pérdida dependen siempre del signo del producto (11). El número 7 es el más pequeño de los enteros para el cual el juego no conlleva maneras de jugar superiores a otras.

         Los problemas de probabilidades y de análisis que podría proponerse a propósito del arte de la guerra o de las especulaciones económicas o financieras no carecen de analogía con los problemas relativos a los juegos, pero con un grado de complicación en general bastante más elevado. Para su solución práctica, el espíritu geométrico debe ser ayudado por el espíritu de finura [esprit de finesse]. El único consejo que el geómetra puede dar, en ausencia de toda indicación psicológica, al jugador A cuyo adversario B busca utilizar las anotaciones precedentes, es el de variar el juego de tal manera que las probabilidades atribuibles por un observador exterior a sus diversas maneras de jugar no sean nunca definidas; la función ϕ (x, y) debe pues variar a cada instante, y variar sin seguir ninguna ley; podemos dudar de que sea posible indicar un medio efectivo y seguro de poner en acción tal consejo; parece que, para seguirlo a la letra, haría falta una incoherencia total de espíritu, aliada, claro está, a la inteligencia necesaria para eliminar los métodos que hemos calificado de malos.

(Traducción de Francisco J. Fernández)

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[1] Podemos, por concretar este juego, suponer que x, y, z designan números de cartas elegidas libremente por cada jugador (o bien distribuidas por combinaciones donde intervendrían a la vez el azar y la voluntad del jugador); el juego de A se compone pues de x tréboles, y diamantes y z corazones, y A gana a B si lo supera numéricamente en dos de los palos.

Sacrificios sabioteados

           

Para Juan Carlos Castro (Júcar)

 

             Durante el III Open de Sabiote (agosto 2013) entablé dos partidas con blancas por jaque continuo. Llegué al mismo tras fracasar en sendos ataques que se iniciaban con un sacrificio. En un caso, Torre por caballo y en el otro Torre por dos peones. Pero en ambos me vi superado por la abismal complejidad del ajedrez. De hecho, jugué mal en el primero y menos mal en el segundo, consecuencia quizá necesaria de que mi pobre Elo Fide es de 1901 en estos momentos. En cualquier caso, obtuve la recompensa de las tablas. Fortuna iuvat audaces!

            Expondré a continuación esos dos momentos eliminando casi cualquier comentario en torno a las aperturas elegidas y el camino que me llevó hasta esos lugares en que quiero detenerme. En cierto sentido, quiero explicarme a mí mismo qué me llevó a iniciar esas comprometidas secuencias al margen de consideraciones de tipo psicológico o competitivo, aunque las hubiera, como es lógico. Es decir, quiero explicarme qué había en la posición para decidirme a sacrificar de tal manera. Una última consideración: creo que ambos sacrificios caerían bajo el concepto de sacrificios verdaderos, que defendía Spielmann en un libro ya clásico. Verdaderos porque se oponen a simulados, siendo estos últimos los que hablan de oídas llaman correctos.

            En la partida de la ronda tercera, mi rival era el joven Alejandro Picazo González (1987 Fide). En efecto:

            1.e4 e5 2.Cf3 Cc6 3.d4 exd4 4.Ac4 Cf6 5.0–0 Cxe4 6.Te1 d5 7.Axd5 Dxd5 8.Cc3 Da5 9.Cxe4 Ae6 10.Ceg5 0–0–0 11.Cxe6 fxe6 12.Txe6 Ad6 13.Ag5 Tdf8 14.Ah4 Dh5 15.Ag3 Axg3 16.hxg3 Td8 17.Dd3 17.Dd5 18.Tae1 Dxa2 19.Df5 Rb8 20.b3 g6 21.Df6 a6, llegándose a la posición del diagrama.

 

Posición después de 21..., a6

               Lo primero que hay que decir es que la posición es de ligera ventaja blanca. A la misma se ha llegado tras sacrificar el peón de a2 con objeto de alejar la dama de las casillas que me interesaban, maniobra especulativa que en este momento no comento, pero que indica que la posibilidad de sacrificar la torre por el caballo estaba exigiendo existir, como diría Leibniz, haciendo sentir sus efectos incluso antes de darse efectivamente. En cuanto a la valoración de la posición, varios son los elementos de la misma. Las blancas controlan la columna e, el caballo y la dama blancos atacan el peón negro de d4, la dama blanca está situada además en la gran diagonal negra, amenazando de paso a las dos torres negras, que dependen la una de la otra. Desde el punto de vista material, las blancas pueden cambiar su torre por caballo y uno o dos peones, es decir, sin pérdida significativa. Ahora bien, ello no es suficiente para emprender el sacrificio, pues en un posible final no sería ventaja suficiente para igualar. Debe haber, por tanto, otras cosas en la posición que animen al mismo. Las ideas que me rondaban pasaban por hacerme asimismo con el peón de a6, una vez hecha Ta1, que amenaza la torpe dama negra. La segunda idea, probablemente incompatible con la primera, tenía que ver con el doble de caballo en c6. Creo que mentiría si dijera que consideré algo más. Más abstractamente, me decía a mí mismo que la dupla Caballo + Dama combina muy bien y que el rey negro estaría a la intemperie. Y ya está, eso es todo: el resto es silencio... Otros entienden el ajedrez de otra manera y quieren saberlo todo antes de actuar, lo que me lleva a preguntarme cómo pueden siquiera mover. Si contestaran que quieren saber al menos razonablemente, me gustaría saber a qué llaman ellos razonablemente...

            Así las cosas, 22.Txc6 y la primera sorpresa. Mi rival no toma inmediatamente, sino que amenaza mi dama con 22...Thf8 ¿Por qué no vi esta simple jugada? Creo que porque de alguna manera sabía que no me podían echar de la gran diagonal, estableciendo de paso una amenaza sobre c7. Ahora bien, la torre ya no se va a encontrar en a8. Mi combinación no era rectilínea (forzada, en otros términos). ¿Por qué se sostiene, sin embargo? Porque juzgué en su momento que las torres estaban atadas… y siguen estándolo. Por lo tanto, 23.Dg7 Y ahora ya sí 23...bxc6 24.Cxd4 Y llegamos al momento decisivo de la combinación. Hay que dar con la buena defensa y se produce uno de esos casos llamados de la torre equivocada. En efecto, mi rival hace 24...Tde8? Era mejor 24...Tfe8 25.Cxc6+ Rc8 26.Ta1, cumpliéndose maravillosamente mi desmañado plan, 26…Dxc2 27.Cxd8 Txd8 28.Dxh7. Plan, por cierto, que sólo da ligerísima ventaja (de pasada añadiremos que 28.Txa6??, una de las ideas primeras, falla porque hay mate en tres para las negras: 28...Dd1+ 29.Rh2 Dh5+ 30.Rg1 Td1#). Pero, claro, todo esto es muy complicado y al encontrarme con que mi doble de caballo ya no lo era y que mi torre no podría ir a a1, porque perdería el peón de c2, atacando el caballo de c6, no tuve la flexibilidad suficiente para replantearme la combinación, olvidándome de aquello que dice Dvoretsky, a saber: que las buenas jugadas se sobreponen a las intenciones de los jugadores. Así las cosas hice aquello que estimaba que me daría las tablas 25.Txe8+??, relegando a un mundo posible 25.Ce6, que contemplé durante un momento para refutarla con 25…Da5, no viendo la maravillosa 26.Te5! con ventaja decisiva. Creo que el hecho de no verla, al margen de mi natural torpeza, tiene relación con que esa posibilidad no estuvo nunca en mis consideraciones previas. En fin, no he de olvidarme de que la flexibilidad mencionada hace referencia a las jugadas, no a las intenciones. El ajedrez es muy agradecido con las buenas jugadas. Cuando Dios cierra una puerta abre una ventana. 25...Txe8= 26.Dd7 Da1+ 27.Rh2 De1 28.Cxc6+ 28.Rb7 29.Ca5+ Rb8 30.Cc6+ Rb7. En fin, tras la captura de la torre las tablas son tan evidentes como múltiples, hasta el punto de no saber si las tengo yo o las tiene mi rival.

            En cuanto al segundo ejemplo, las cosas son un poco distintas. Mi rival era en esta ocasión Francisco González García (1892 Fide), una auténtica fuerza de la naturaleza, con un ajedrez muy sano, a mi juicio. Estamos en la quinta ronda y ambos llevamos tres puntos, en mi caso, sin perder aún ninguna partida. Como dije antes, dejaré de lado la discusión de apertura (B 86, ataque Sozin contra la siciliana), discusión por cierto que empezamos en la pasada liga, con resultado favorable para mi rival. En lontananza se adivina un tercer asalto…

            Así fue la partida:

1.e4 c5 2.Cf3 d6 3.d4 cxd4 4.Cxd4 Cf6 5.Cc3 a6 6.Ac4 e6 7.Ab3 Ae7 8.0–0 0–0 9.Ae3 Dc7 10.a4 Cc6 11.Cxc6bxc6 12.a5 d5 13.Ab6 Db8 14.Df3 Ab4 15.exd5 cxd5 16.Ta4 Ad6 17.Th4 Ab7 18.Dh3 Dc8 19.Td1 Ae7 20.Ad4 h6, llegándose a la posición del diagrama.

 

Posición después de 20..., h6

            Igualdad de material. Tres piezas negras defienden el enroque negro y otras tres blancas lo están atacando, en posiciones muy agresivas. Una torre blanca puede incorporarse al ataque por la tercera fila, pero la dama negra sólo necesita un avance de peón para acudir al rescate de su rey por las casillas blancas. Sin embargo, el alfil y caballo blancos están atados controlando d5 y no se puede esperar demasiado de ellos por el momento, así como tampoco de la torre negra de a8 y del alfil de b7. Es como si el tablero estuviera partido por la mitad, dejando en fuera de juego algunas piezas, las del flanco de dama. En cuanto a la evaluación de la posición, se puede defender sin violencia conceptual que las blancas están mejor y que la sencilla 21.Dg3 es prometedora. El experimento de apertura había dado buen resultado. Sin embargo, las cosas se desarrollaron de otra manera:

21.Txh6 gxh6 22.Dxh6 e5 Única, y ahora hay que decidirse por retomar el peón o dar jaque con la dama en g5, o incluso incorporar la torre al ataque por d3. Opté por aquella que me era más fácil de manejar, es decir, aquella sobre la cual podía obtener cierta certeza. Así pues 23.Axe5 Si 23.Dg5+ Rh7 24.Dh4+ Rg6 25.Dg3+ y la llegada de la dama a g4 acaba con mis chances, incluso si entre medias hemos capturado el peón de e5 con el alfil. En cuanto a la complicada 23.Td3, la defensa negra pasa 23...exd4  24.Tg3+ Cg4 25.Dh5 dxc3 26.Txg4+ Dxg4 27.Dxg4+ Rh7 (o Rh8), con igualdad, porque no parece que el rey negro deba intentar escaparse por f6 23...Df5 Única otra vez 24.Td3 Cualquier otra jugada involucra cambiar la dama en g6, cosa a la que no estaba dispuesto.  24...Dxe5 ¡Alivio! Mientras esperaba la jugada de mi rival, descubrí asombrado que 24...Dxf2+ 25.Rxf2 Cg4+ acabaría conmigo, lo que hizo que me lamentara por no haber jaqueado en g5. Sin embargo, en el post mortem descubrí que 24...Dxf2+ no era buena por un sorprendente recurso táctico que se da a continuación. En efecto, tras 25.Rxf2 Cg4+ 26.Re1 Cxh6 27.Tg3+ y amenazo con barrer la séptima fila (27...Rh7 28.Tg7+ Rh8 29.Txf7+), por lo que el negro ha de soltar lastre tarde o temprano con 27...Cg4 y ventaja blanca 25.Tg3+ Dxg3 26.hxg3 Tad8 Esta jugada fue duramente criticada por los curiosos, que entendían que había que mover la otra torre para habilitar f8 para el rey, por ejemplo a c8. En cualquier caso, la partida se hubiera complicado extraordinariamente, con una absoluta descompensación de material. Por otra parte, si 26...Tae8 27.Dg5+ Rh8 28.Dh6+ Ch7 29.Axd5 (29.Cxd5 Ag5 30.Db6 Te1+ 31.Rh2 Axd5 32.Axd5 Rg7 33.g4) 27.Ce2 Absolutamente criticable. La idea de llevar el caballo a f5, parando en e4, no da nada. Era preferible 27.Dg5+ Rh7 28.De5 Tde8=  27...Td6 Demasiadas emociones para mi rival. Desestima 27...Ce4 28.Cd4 Td6 y tácitamente me exige que acabemos con la partida, que ya ha tenido bastante. Así lo entendí y así lo hice 28.Dg5+ Rh8 29.Dh4+ Rg7 30.Dg5+ Me he escapado, me he escapado, decía después mi rival. La verdad es que yo podría decir lo mismo.

 

Francisco J. Fernández

Robert James Fischer (1943-2008)

Poco después de perder ante Fischer el llamado Match del Siglo (1972), Boris Spasski efectuó una evaluación del juego de su rival que nunca he acabado de comprender. En efecto, señala algunas de sus virtudes y a continuación su principal deficiencia: "La principal es que juega al ajedrez de forma muy pura, como un niño" (cit. por G. Kasparov en Mis geniales predecesores, vol. 4, trad. de A. Gude, La Roda, Ediciones Merán, 2006, pág. 473). ¿Por qué la pureza de su ajedrez habría de representar una deficiencia? ¿A qué se estaba refiriendo Spasski? La explicación que da a continuación no parece aclararlo del todo: "Ahora esto representa una fuerza, pero más tarde puede hacerle daño, sobre todo en una lucha complicada, cuando se requieren otras cualidades, más refinamiento, gran experiencia" (ibidem).

No sé si el camino correcto para entender este comentario es fijarnos en cómo juegan los niños. Algunos de ellos adquieren en seguida un nivel ajedrecístico altísimo (el propio Fischer, el mismo Spasski), así que tal vez debamos detenernos más bien en niños normales, en niños que nunca serán grandes maestros. La primera vez que senté a mi hijo delante de un tablero no tendría dos años. Duró poco en esa situación. En cuanto pudo se sentó dentro del mismo. Jugar al ajedrez significaba para él habitar físicamente el tablero; desde luego, revelaba una buena comprensión posicional: hay que ocupar el centro. Hace unos cuantos días se me ocurrió explicarle que los peones han de proteger a las piezas. Su manera de jugar a partir de ese momento se convirtió en un rodear las piezas de peones (quebrantando de paso las reglas que rigen el movimiento de estos). Si se me ocurre comerle alguna, protesta inmediatamente aduciendo que estaba protegida: respeto por el material, podría decirse. Cuando, no obstante, consigo convencerle de que se trata de un simple cambio (una por otra) acepta a regañadientes. Toda pérdida de material, aunque esté equilibrada por su propia ganancia, es sufrida como una amputación (miedo a la castración, que diría un psicoanalista, dado que por su edad, cuatro años, se encuentra en plena resolución del complejo de Edipo). Por otro lado, nunca se atreve a capturar una pieza si no lo hago yo antes; se limita a mover de aquí para allá en función de ciertas simpatias, probablemente porque le es más fácil la identificación con ellas: ama los caballos, los peones, las torres, y presta poca atención a la dama o los alfiles, por ejemplo. Finalmente, cuando algo no le gusta (que su hermana de cinco años, en un suponer, le coma un caballo) se corre el peligro de que las diferentes piezas salgan volando: con el interior del brazo barre el tablero de un lado a otro y todo ha acabado.

Es dudoso que Spasski se refiriera a estos comportamientos, aunque no ha faltado quien tildara a Fischer de cierto infantilismo. Parece, más bien, que el diagnóstico iba referido a la forma de jugar. Es sabido que Fischer admiraba el estilo de los grandes jugadores soviéticos (Smyslov, Botvinnik, Bronstein, Taimanov, Tal, Spasski): "Me gustaba su juego: agudo, atacante, intransigente" (pág. 227 de la obra citada). También llama la atención la cita del Manual de Lasker que antepuso a su libro Mis 60 mejores partidas:"En el tablero la mentira y la hipocresía no sobreviven. La combinación creativa desenmascara la presunción de la mentira: el acto despiadado que culmina en el mate contradice al hipócrita". Cabría pensar que su ideal de juego debería tener las virtudes contrarias a esos defectos: Veracidad y honestidad. Traducir esto al ajedrez no es tan sencillo, sin embargo. Quizá Spasski pensara que ello era difícilmente compatible con el refinamiento y la experiencia. ¿Cómo ser veraz y refinado, cómo honesto y disponer de experiencia, es decir, de memoria de las vivencias pasadas? Smyslov señaló en una ocasión que Fischer tenía escaso sentido práctico: "aunque la meta deportiva estuviese asegurada, el juego de Fischer no mostraba la menor tendencia pacífica" (pág. 497 de la obra citada). En cuanto a su refinamiento es de destacar el menosprecio que siente por ciertas formas de plantear el juego. En una carta a Larry Evans dice: "Estoy sobre todo ocupado en estudiar viejos libros de aperturas y, lo creas o no, ¡estoy aprendiendo mucho! Al menos no le dedican espacio a la Catalana, la Reti, el ataque indio de rey y otras aperturas lamentables" (pág. 321 de la obra citada). Creo que Fischer despreciaba con toda su alma a los jugadores sibilinos, a los que renegaban de la auténtica lucha, del juego directo por un sentido equivocado de la prudencia, que se desvían de las presuntas preparaciones, yéndose de paso de Málaga a Malagón. Rafael Sánchez Ferlosio se inventó un epíteto para esta clase de gente en general: tontiastutos. Creo que Bobby hubiera estado de acuerdo con él. Lo que además consiguó fue demostrar los límites de la tontiastucia. Tras su desaparición tardaremos bastante en encontrar a alguien que vuelva a ponerlos en su lugar. Descanse en paz.

Francisco J. Fernández

Velada con Stefan Djuric

El pasado día 11 de abril pudimos disfrutar de una bonita velada con el GM serbio Stefan Djuric con motivo de su participación en el Torneo Innovandújar que Pedro Reyes ha tenido a bien organizar en la ciudad iliturgitana. Nos acompañaban Rosa Mora y Araceli Guerra, concejala de Medio Ambiente y Consumo del Ayuntamiento de Andújar. Nuestro invitado en seguida se prestó a contestar a una serie de preguntas con el fin de realizar una semblanza suya en el blog del club de Ajedrez Dama Morena. La lengua que nos unía era una especie de italiano francés castellano que no impidió la comunicación, a pesar de algunas torpezas lingüísticas que inevitablemente generaban risas y bromas. La verdad es que el ambiente fue muy distendido y Djuric se mostró amable en extremo, contestando a cada una de nuestras preguntas con total interés. Así, por ejemplo, se permitió bromear sobre el declive de su Elo, recordando los tiempos en los que lo tenía más alto (en 1996, tenía 2560). Evocaba también el momento en que se convirtió en Gran Maestro (1981) y hasta nos animó a visitarle en Montecatini Terme, en la Toscana, cerca de Florencia, que es donde reside actualmente.
Una de las primeras preguntas fue por sus jugadores favoritos. Casi sin pensar, aunque concediendo que era una pregunta difícil, dijo que Petrosian, uniendo en seguida su nombre al de Nimzowitch y a su libro Mi sistema. Justipreció en ese momento los sacrificios de calidad de Petrosian y rememoró alguna partida suya en la que había empleado este procedimiento, aunque con un talante más agresivo que el habitual en el genial armenio. No obstante, completó la pregunta hablando de Spasski, en el sentido de que su estilo de vida: elegante, caballeroso, hasta cierto punto indolente, siempre le había fascinado. En ese momento nos recordó que el primer GM con el que jugó fue Tal. Pero el caso es que a cada momento aparecían nombres legendarios en la conversación: Korchnoi, Bronstein, Miles, Fischer ("la pureza de su ajedrez"), Ivkov, Gligoric, Taimanov, Geller, etc. Jugadores con los que había trabado un conocimiento directo en lugares como Santa Mónica, Belgrado o Moscú.
Una de las cosas más interesante que dijo fue cuando se le preguntó acerca de cómo debe mejorar en el juego un aficionado. En ese momento se mostró rotundo. No hay que hacer papanatismo. Es decir, no hay que empeñarse en jugar como los famosos grandes maestros, empleando por ejemplo sus variantes. Más bien, hay que llegar a posiciones fuera de lo bendecido por la Autoridad: se trata de llegar a "posiciones que uno mismo ha creado". Djuric se definió en algún momento como un idealista, es decir, que valoraba más el aspecto creativo que el competitivo. De hecho, se distanció un poco de la llamada escuela yugoeslava donde se había forjado como jugador, comentándonos que su trayectoria había sido muy singular. Esta misma firmeza de carácter le llevaba a minusvalorar la importancia de las computadoras, aunque, como es habitual, las utiliza para cuestiones de información, aunque no tanto de comprensión del juego. Por cierto, nos habló de manera entusiasta de un aparatito (bastante frecuente en los Estados Unidos) que permite la transcripción de las jugadas durante las partidas.
En cuanto a sus aperturas favoritas, juega la Ruy López con negras, y no teme entrar en el Marshall, donde es un especialista (recientemente ha publicado en italiano tres volúmenes sobre aperturas), habiendo discutido con el propio Spasski algunas líneas que llevan su nombre y que Nunn ha consignado. En cuanto a su juego con blancas, es mucho más difuso: prefiere tener una idea del juego a una línea o líneas preferidas (un desarrollo más bien lento y amenazas no directas). Desde un punto de vista práctico, nos recordó que una partida no se pierde por un error, sino por dos. Que ese primer error puede ser corregido, y que no hay que venirse abajo cuando uno lo comete, aunque reconoció también que eso le resultaba más fácil de joven que ahora.
Respecto a la historia del ajedrez, alabó a los grandes maestros del pasado (Morphy, Steinitz, incluso Anderssen), no considerándolos inferiores a los actuales, aunque sin llegar a las tesis extremas de un Marovic, por ejemplo, que considera que actualmente no hay los genios que antes hubo. En este sentido, tampoco se mostró demasiado de acuerdo con John Watson señalando evoluciones o progresos en el ajedrez contemporáneo. Preguntado por su profesionalidad, declaró "odiar dar la impresión de ser un pirata", y cuando las féminas de la velada preguntaron por el ajedrez femenino, evocó una partida suya con una Judith Polgar de 10 años que se atrevió a plantearle un gambito de rey (entre risas vino a reconocer que no sabe aún cómo consiguió ganar), y otra suya con Nona Gaprindashvili, en la que ésta se rindió en posición que su entrenador le recriminó, aunque estaba objetivamente perdida.
Hubo también un momento particularmente interesante. Es cuando se habló de las virtudes intelectuales del ajedrez. La expresión de Djuric fue "inteligencia específica". Lo que vino a decirnos es que la destreza a la hora de jugar no garantiza la inteligencia general de una persona. De hecho, durante la conversación se percibía la amplitud de miras del Gran Maestro: los nombres de Dostoyevski, de Mozart, de Vivaldi, salían de su boca con la misma expresión de admiración que cuando citaba la habilidad de Velimirovic para evaluar un final o ponderar la prudencia de Petrosian.
En fin, una auténtica gozada regada con vino de La Mancha en el restaurante del Hotel del Val. Tras ello, se comprometió a jugar con nosotros unas partidas de Blitz una vez que finalizara el torneo. Al bueno de Pedro los ojos le hacían chiribitas.

Francisco J. Fernández

Nota bene: Efectivamente, una vez finalizado el torneo, que ganó naturalmente Djuric (segundo Juan Carlos Sánchez y tercero Romero Berruezo), algunos miembros de Dama Morena fuimos invitados a medirnos con el Maestro en partidas de Blitz (a 3 minutos). Por allí pasaron Pedro Reyes, Ruiz Casado, Carlos Martínez, Gerardo Cruz, Enrique Hermoso y quien esto escribe. Verdaderamente asombrosa su capacidad a ritmo tan rápido, aunque sin jugar a una velocidad extraordinaria ni mucho menos. De hecho, en apenas un puñado de partidas tuvo apuros de tiempo. Nuestras posiciones se disolvían como azucarillos. Y eso que concedía que jugáramos las variantes que mejor conocemos. Los Morras de Reyes, las Caro-Kannes de Ruiz Casado, los Marshalls de Fernández, las Escandinavas de Martínez, etc. Aceptaba incluso jugar con negras para enfrentarse a la variante del cambio de la Ruy López de Ruiz Casado, a la Escocesa de Martínez o al ataque Max Lange de Fernández. Todo en vano. En el momento en que me fui, tras algo así como seis horas de juego, el marcador iba por un 50 a 1. ¡Qué lástima que estos momentos sean tan esporádicos! 

Casillas débiles

Fue muy curioso lo que me pasó hace unos cuantos meses jugando al ajedrez con José Manuel Villar. Era una partida de Blitz, a 5 minutos. Llevaba blancas y me jugó una Grünfeld, que hacía algún tiempo que no aparecía en nuestras partidas de café. Casualmente, un par de horas antes había visto unos comentarios de Karpov sobre una partida suya con Kasparov, los cuales me llamaron la atención poderosamente: en una Grünfeld también (Belfort, 1988, Copa del Mundo, cfr. Anatoli Karpov, Mis Mejores partidas, Barcelona, Editorial Paidotribo, 1998, trad. de A. Gude, pp. 120-124). La idea de Karpov consistía en restringir la actividad del alfil de g7 con e5 una vez que hubiera desaparecido el alfil de casillas blancas del bando negro. Eso es lo que, para mi sorpresa, me vería intentando hacer con mi amigo: 1.d4,Cf6 2.c4,g6 3.Cc3,d5 4.cxd5,Cxd5 5.e4,CxCc3 6.bxCc3,Ag7 7.Ac4,0-0 8.Ce2,c5 9.Ae3,Cc6 10.0-0,Dc7 11.Tc1,b6.


Fue en este momento más o menos cuando se me vino a la cabeza el plan de Karpov. Entre otras cosas, porque la variante con 10...Dc7 apenas la conozco y normalmente la simple memorización de las jugadas impide la creatividad, buena, mala o regular. De esta manera se me ocurrió un 12.Da4 (novedad incluida, por cierto, al menos por lo que yo sé) con idea de un eventual Aa6. Así las cosas, se continuó con 12...,Ca5 13.Ad5,Ab7 14.AxAb7,CxAb7, llevando a cabo mi plan de eliminación del alfil aunque por caminos distintos (como se suele decir, Dios escribe derecho sobre renglones torcidos). Lo que vino a continuación fue una serie de maniobras (unas mejores, otras peores) con mi caballo y mi dama por esas casillas blancas desguarnecidas. Pero antes, claro, la idea general de Karpov 15.e5. En fin, la partida, aunque la gané, fue luego torpemente llevada, por lo menos en relación con el claro plan que tuve a la salida de la apertura. El caso es que conseguí llevar finalmente mi caballo a f6, obteniendo una posición ganadora. La sensación que tenía era de dominación. Tras ello, reconstruimos la partida y Villar me vino a decir que su debilidad no habían sido las casillas blancas, sino las negras, lo que me sorprendió bastante, pues había tenido una clara percepción de que la cosa no había transcurrido así. Pero el respeto que Villar me merece como jugador me hizo recordar lo que decía Bronstein en su libro del Torneo de Candidatos de Zürich, 1953: que la debilidad de las casillas de un color eran también la debilidad de las piezas que se encuentran en el del color contrario, en este caso el alfil de g7, al que se le había acumulado el trabajo (cfr. Editorial Fundamentos, Madrid, 2000, trad. de A. Gude, p. 31). De hecho, a pesar de que la partida era de Blitz y la cosa no iba en serio, todo fue como una revelación, pues después de todo mi idea primitiva (en el doble sentido de original y simple), tras la desaparición del alfil de casillas blancas y el desarrollo ulterior del juego, había sido solamente instalar un caballo en d6, pero luego vine a descubrir que, mientras lo intentaba, transitaba cómodamente por las casillas blancas sin que el rival pudiera hacer demasiado por evitarlo. Es decir, descubrí (y disculpen los que lo sepan ya, dado que no se trata tanto de saberlo, pues que de algún modo yo también lo sabía de manera abstracta, sino de experimentarlo, esto es, de que ese conocimiento guíe la acción del ajedrecista, cosa que a mí al menos me ha pasado en muy pocas ocasiones) que la debilidad de las casillas de un color permiten las maniobras de las piezas propias por ese mismo color. Creo que antes yo lo entendía de una manera mucho más individual, es decir, veía en efecto, como lo ve cualquiera, una casilla débil de determinado color, pero creo que mi comprensión, a pesar de haber leído y escuchado a menudo cosas parecidas a las que aquí intento describir, no iba más allá. De alguna manera, entonces sentí y no sólo comprendí (o porque lo sentí lo comprendí, o porque lo comprendí lo sentí, para no parecer tan místico) lo que Bronstein quiso decir, que, por otro lado, tampoco es tan evidente y el propio Bronstein viene a reconocerlo después de todo; de ahí quizá la sensación de Villar (y no hay sensación falsa, como ya sabían los antiguos) de que sus debilidades eran negras y no blancas. En fin, confío en que, a pesar de que nadie escarmienta en cabeza ajena, esta torpe reflexión pueda servir de algo a los principiantes en el tortuoso camino de la comprensión ajedrecística.

Francisco J. Fernández

ZERMELO SOBRE EL AJEDREZ

Ernst Zermelo (1871-1953), matemático alemán, fue uno de los creadores de la teoría axiomática de conjuntos. La axiomática conjuntista más usada hoy lleva el nombre de ZF por Zermelo y Fraenkel, o ZFC si se añade a ZF el axioma de elección, que Zermelo utilizó en un famoso artículo de 1908 para demostrar que todo conjunto puede ser bien ordenado; en ese mismo año, Zermelo propuso la primera versión de lo que evolucionaría gracias a Fraenkel y Skolem hasta convertirse en la teoría ZFC. Hoy se reconoce además que Zermelo había descubierto en Gotinga antes que Russell la conocida paradoja del conjunto de todos los conjuntos que no se pertenecen a sí mismos. En 1913 apareció el artículo de Zermelo sobre el ajedrez que traducimos, en el que suele considerarse que demuestra el llamado ‘teorema de Zermelo’ sobre teoría de juegos, considerado el primer teorema de esa disciplina matemática.

De las versiones del teorema, una de las más sencillas dice: en un juego finito, de información perfecta, en el que se enfrentan dos jugadores y en el que no interviene el azar, o bien un jugador tiene una estrategia ganadora o bien ambos tienen una estrategia que les permite forzar tablas. En efecto, Zermelo construye en el artículo dos conjuntos de continuaciones del juego a partir de una posición dada q: uno, que puede ser vacío, ofrece a las blancas una estrategia ganadora a partir de q; si ese conjunto es vacío, existe otro, quizá vacío, que permite a las blancas forzar tablas; si este segundo conjunto también es vacío, las negras tienen una estrategia ganadora a partir de q y las blancas no pueden más que demorar la derrota hasta un número máximo de movimientos. Como la misma situación se da para las negras, las alternativas posibles son que las blancas tengan una posición ganadora, que la tengan las negras o que ambos jugadores puedan forzar tablas.

Dadas las características del juego, el teorema es casi trivial. Tiene, sin embargo, el mérito de haber inaugurado la teoría de juegos, que habría de convertirse en una rama floreciente de las matemáticas gracias al trabajo de matemáticos como el famoso John Nash, Morgenstern o Von Neumann.

SOBRE UNA APLICACIÓN DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS A LA TEORÍA DEL AJEDREZ

Ernst Zermelo

Las consideraciones siguientes son independientes de las reglas concretas del juego del ajedrez y valen en principio para cualquier juego intelectual no de azar semejante, en el que se enfrentan dos jugadores. Pero, por mor de concreción, preferimos ejemplificar aquí con el ajedrez, siendo éste el juego más conocido de este tipo. No se trata de exponer aquí un método para la práctica del juego sino de contestar a esta pregunta:

¿Puede determinarse de manera matemáticamente objetiva el valor que una posición posible en el juego tiene para uno de los jugadores y puede determinarse, o al menos definirse, cuál es el mejor movimiento posible para él sin recurrir a construcciones con matiz psicológico y subjetivo como la del ‘jugador perfecto’?

Que esto es posible al menos en algunos casos lo revelan esos problemas de ajedrez, es decir, ejemplos de posiciones, en los que cabe demostrar que el jugador que mueve puede forzar el mate en un número predeterminado de movimientos. Creo que merece la pena investigar si una tal valoración de la posición es teóricamente concebible y tiene sentido también en aquellos casos en los que el análisis de la situación encuentra un obstáculo, insalvable en la práctica, en el elevado número de las posibles continuaciones del juego. Y creo que esta averiguación es necesaria para sentar el fundamento de la teoría de los finales de juego y de las aperturas, tal como se encuentra expuesta en los libros de enseñanza del ajedrez. El método utilizado en las líneas que siguen para la solución de ese problema se ha tomado de la teoría de conjuntos y del cálculo lógico, y revela la utilidad de esas disciplinas matemáticas también en casos que involucran solamente totalidades finitas.

Como el número de escaques y de piezas es finito, es también finito el conjunto P de las posiciones posibles p0, p2, p3, …, pt, entre las que dos posiciones por lo demás iguales deben distinguirse también atendiendo a cuál es el jugador al que toca mover, a si uno de los bandos ha enrocado ya, a si algún peón ha coronado, etc. Sea entonces q una de esas posiciones; para q hay un conjunto Q de finales posibles fq, es decir, un conjunto de secuencias (q, q1, q2,…) de posiciones que, partiendo de q, suceden unas a otras de acuerdo con las reglas del juego, de tal manera que cualquier posición qn de entre esas sucede a la posición qn-1 a través de un movimiento permitido de las blancas o las negras. Cada uno de esos finales de juego fq termina en una posición de mate o de ahogado[1], o, al menos teóricamente, continúa indefinidamente y en este caso el resultado de la partida tendría que considerarse indeterminado o sería tablas (remis). El conjunto Q de todos esos posibles finales de juego fq que parten de q es un subconjunto, finito o infinito, pero bien definido, del conjunto Pa que contiene todas las secuencias enumerables de elementos p del conjunto P.

Algunos de esos finales de juego fq pueden conducir a la victoria de las blancas en no más de r movimientos (entendiendo por ‘movimiento’ el paso de una posición pn-1 a una posición pn, es decir una media jugada, no una jugada completa), aunque en general esto dependerá de cómo jueguen las negras. Pero ¿cómo debe ser una posición q para que las blancas puedan forzar el mate en no más de r movimientos, con independencia de cómo jueguen las negras? Afirmo que la condición suficiente y necesaria para eso es la existencia de un subconjunto no vacío Sr(q) del conjunto Q tal que:

1. Todos los elementos fq del conjunto Sr(q) terminan con la victoria de las blancas en no más de r movimientos, de tal manera que cada secuencia fq contiene como mucho r términos, lo que implica que Sr(q) es siempre finito.

2. Si fq = (q, q1, q2, …) es un elemento cualquiera de Sr(q) y si qn es un término cualquiera de fq, que se da tras un movimiento de las negras y que será un término par o impar de fq según quién juegue en q, y si, finalmente, q’n es una variante posible, porque las negras desde qn-1 podrían jugar tanto qn como q’n, entonces Sr(q) contiene al menos un elemento fq’n = (q, q1, …, qn-1, q’n, …), que tiene en común con fq los primeros n términos. De hecho, en ese y solo en ese caso, pueden las blancas empezar con un elemento cualquiera fq de Sr(q) y, si las negras juegan q’n en vez de qn, contestar con un correspondiente q’n+1[1] que asegure su victoria en no más de r movimientos.

Ciertamente, puede haber más de un conjunto Sr(q) pero la unión de cualquier par de ellos cumplirá las condiciones 1 y 2, y también lo hará la unión U(Sr(q)) de todos ellos, que está bien definida por r y q, y que será diferente de Ø, es decir, que tendrá al menos un elemento, con tal que de que realmente exista un Sr(q). En consecuencia, que U(Sr(q)) ≠ Ø es la condición necesaria y suficiente para que las blancas puedan asegurarse la victoria a partir de q en no más de r movimientos. Si r< r’, entonces U(Sr(q)) es subconjunto de U(Sr’(q)), puesto que todo conjunto Sr(q) satisface las condiciones impuestas a los conjuntos Sr’(q), de modo que debe estar incluido en U(Sr’(q)); y si m es el menor número para el que U(Sm(q)) ≠ Ø, entonces S*(q) = U(Sm(q)) es la intersección de todos los U(Sr(q)) y contiene todas aquellas continuaciones del juego a partir de q que permiten a las blancas ganar en un número mínimo de movimientos. Para esos valores mínimos m = mq hay un valor máximo T≤ t, que depende de q y donde t+1 el número de todas las posiciones posibles, de modo que la condición necesaria y suficiente para que exista algún Sr(q) no vacío y las blancas puedan asegurarse la victoria a partir de q es que U(ST(q)) ≠ Ø. Si desde una posición q es posible forzar la victoria, entonces, como vamos a mostrar, es posible hacerlo en no más de t movimientos. De hecho, todo final fq = (q, q1, q2, …, qn) con n > t contiene una posición qa = qb repetida y las blancas podrían haber jugado la primera vez que esa posición se dio tal como lo hacen en la segunda y así haber ganado en menos de n movimientos; por tanto, m ≤ t.

Si, en cambio, S(q) = Ø, entonces las blancas pueden como mucho, si juegan bien, conseguir tablas pero también podrían estar en una posición perdedora y entonces solamente podrían intentar demorar el mate todo lo posible. Si las blancas tienen la posibilidad de aguantar hasta el j-ésimo movimiento, entonces tiene que haber un subconjunto Zj(q) de Q tal que

1. En ninguno de los finales contenidos en Zj(q) pierden las blancas antes del j-ésimo movimiento.

2. Si fq es un elemento cualquiera de Zj(q) y en fq la posición qn puede ser reemplazada por la posición q’n como consecuencia de un movimiento permitido de las negras, entonces Zj(q) contiene al menos un elemento de la forma

fq’n = (q, q1, q2 …, qn-1, q’n, …),

que tiene en común con fq[3] los primeros n-1 elementos y después continúa con q’n. También los conjuntos Zj(q) son todos subconjuntos de su unión U(Zj(q)), que queda unívocamente determinada por j y q, y que tiene la misma propiedad que Zj, y para cada j < j’, es U(Zj(q)) subconjunto de U(Zj’(q)). Para los números j para los que U(Zj(q)) es diferente de Ø vale que o bien carecen de máximo o bien j ≤ J[4] ≤ T ≤ t, dado que el contrario, si puede asegurarse la victoria, debe poder hacerlo en no más de T movimientos. Así, las blancas pueden asegurarse tablas si y solo si U(ZT+1(q)) ≠ Ø. Si no pueden asegurarse tablas, entonces pueden, mediante Z*(q) = U(ZJ(q)), retrasar la derrota al menos durante J ≤ T movimientos. Como todos los conjuntos Sr(q) satisfacen las condiciones impuestas a los conjuntos Zj(q), el conjunto U(Sr(q)) es subconjunto de U(Zj(q)) y S(q) es subconjunto de Z(q). El resultado de nuestras consideraciones es, por tanto, el siguiente:

A cada posición posible del juego corresponden dos conjuntos bien definidos S(q) y Z(q), subconjuntos del conjunto Q de todos los finales de juego que empiezan con q, y de esos dos el primero es subconjunto del segundo. Si S(q) es distinto de Ø, entonces las blancas pueden forzar su victoria con independencia de cómo jueguen las negras y pueden hacerlo en no más de m movimientos por medio de un subconjunto Sm(q) de S(q) pero no pueden hacerlo con seguridad en menos movimientos. Si S(q) = Ø pero Z(q) ≠ Ø, entonces las blancas pueden al menos hacer tablas mediante los finales de juego contenidos en Z(q). Cuando Z(q) es vacío, las blancas, si el contrario juega bien, pueden solamente demorar la derrota hasta el J-ésimo movimiento mediante un conjunto bien definido Z*(q) de continuaciones del juego. En cualquier caso, solamente las partidas contenidas en S*(q) o Z*(q) pueden considerarse ‘correctas’ desde el punto de vista de las blancas; mediante cualquier otra continuación, las blancas, si están en posición ganadora, dejarían escapar o demorarían la victoria, si el contrario juega bien; y si no están en posición ganadora, harían posible o acelerarían su derrota. Para las negras valen observaciones enteramente análogas y las partidas que deberían contar como partidas jugadas correctamente hasta el final a partir de q son las que satisfacen simultáneamente las condiciones de cada bando, y éstas forman un subconjunto bien definido W(q) de Q.

Los números t y T son independientes de la posición y quedan determinados solo por las reglas del juego. A cada posición del juego corresponde un número m = mq o un número J = Jq, ninguno mayor que T, según sea que las blancas pueden forzar su victoria en m movimientos, pero no en menos, o que pueden hacerlo las negras en J pero no en menos movimientos. La teoría específica de este juego debería calcular esos números o al menos delimitar sus valores entre unos mínimos y unos máximos, lo que hasta ahora no se ha conseguido más que en los ‘problemas de mate en n jugadas’ o en los finales de partida propiamente dichos. La cuestión de si la posición inicial p0 es ya una posición ganadora para alguno de los bandos es por ahora un problema abierto. Si se le diera una solución rigurosa, entonces ciertamente el ajedrez perdería su condición de juego.

Zermelo, E. 1913. Über eine Anwendung der Mengenlehre auf die Theorie des Schachspiels, Proc. Fifth Congress Mathematicians, (Cambridge 1912), Cambridge University Press 1913, pp. 501-504.

Texto original según

http://www.socio.ethz.ch/publications/spieltheorie/klassiker/Zermelo_Uber_eine_Anwendung_der_Mengenlehre_auf_die_Theorie_des_Schachspiels.pdf

Traducción de Laureano Luna Cabañero.

[1] ‘Ahogado’ o ‘rey ahogado’ denota la situación en la que un jugador, cuyo rey no está en jaque, no puede hacer ninguna jugada permitida, lo que da lugar a tablas. N. del T.

[2] En el original no aparece el ‘+1’, lo que debe de ser una errata. N del T.

[3] En el original aparece ‘q’, lo que seguramente es una errata. N del T.

[4] Debe entenderse que J es el máximo de los números j como T es el máximo de los números t. N del T.